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CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) |4 - 1 - (2)평균값 정리 롤의 정리롤의 정리는 평균값 정리를 증명하기데 주로 사용되는 정리로 평균값 정리를 알아보기 전에 알아두고 갈 필요가 있다.롤의 정리함수 f가 다음 세 가지 조건을 만족하면 f'(c) =0을 만족시키는 c가 (a, b) 안에 존재한다.$$1.\ f는\ 폐구간\ [a,\ b]에서\ 연속이다.$$$$2.\ f는\ 개구간\ (a,\ b)에서\ 미분가능하다.$$$$3.\ f(a)=f(b)$$ 롤의 정의의 증명에 관한 부분은 여러분이 직접 그래프를 그려보는 것이 더욱 효과적일 것이라 생각한다. 예제 1.$$x^3+x+1=0이\ 단\ 한\ 개의\ 실근을\ 가짐을\ 보여라$$ 풀이 1.$$f(x) = x^3+x+1이라고\ 하자$$$$우선\ 근이\ 존재함을\ 보이기\ 위해서는\ f(a)\ ＜\ 0인 점과\ f(b)\ ＞.. 공감수 0 댓글수 1 2024. 10. 13.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) |4 - 1 - (1) 최댓값과 최솟값 가격에 따라 판매량이 결정되는 그래프가 f(x)가 다음과 같다고 하자$$f(x) = -x^3 + 2\ \ \ (0 ≤ x ≤2^{\frac{1}{3}})$$판매량은 f(x)이고, 가격은 x임이 분명하므로 판매수익은 x * f(x)이다.$$xf(x) = -x^4+2x\ \ \ (0 ≤ x ≤2^{\frac{1}{3}})$$ 판매수익이 최대인 곳은 그래프의 가장 높은 곳이다.즉 판매수익이 최대인 위치가 이번에 배울 극댓값이자 최댓값인 것이다.이제 극댓값과 최댓값이 무엇인지 알아보자 최댓값과 최솟값 / 극값 위 그래프를 통해 최솟값은 주어진 범위에서 가장 작은 값이고최댓값은 주어진 범위에서 가장 큰 값임을 알 수 있다. 그렇다면 극값은 어떻게 정해지는 것일까? 극솟값이자 최솟값인 점의 x값을 a라고 하자.a의.. 공감수 0 댓글수 1 2024. 10. 13.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 5 쌍곡선함수 삼각함수는 원과 관련 있는 함수였다면쌍곡선함수는 쌍곡선과 관련이 있는 함수이다.$$삼각함수:\ x^2+y^2=1\ →\ sin^2x+cos^2x = 1$$$$쌍곡선함수\ x^2-y^2=1\ →\ cosh^2x-sinh^2x= 1$$ 이제 쌍곡선함수와 쌍곡선함수의 도함수, 역쌍곡선함수의 도함수에 관해 알아보자 쌍곡선함수와 도함수쌍곡선함수의 정의$$sinhx = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$$$$cschx=\frac{1}{sinhx}$$$$coshx= \frac{e^x+e^{-x}}{2}$$$$sechx=\frac{1}{coshx}$$$$tanhx = \frac{sinhx}{coshx}$$$$cothx=\frac{coshx}{sinhx}$$ 쌍곡선함수의 항등식$$sinh(-x)=-sinhx$$$$.. 공감수 0 댓글수 1 2024. 10. 11.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 4 선형 근사 선형화와 근사식x가 a에 가까이 있을 때 곡선 y = f(x)에 대한 근사식으로 점(a, f(a))에서의 f의 접선을 이용하여 선형 근사식을 구한다. 즉 L(x) = f'(a)(x-a) + f(a)가 a에서 f의 선형 근사식이 된다. 어떤 a를 선택하는 것이 유리한지는 예제를 통해 설명하겠다. 예제 1.$$선형\ 근사식을\ 이용하여\ y = e^{0.1}의\ 근삿값을\ 구하시오$$ 풀이 1.$$우선\ 선형\ 근사식을\ 세우기\ 위해서\ y = e^{0.1}의\ 원래\ 함수가\ y=e^x임을\ 생각해야\ 한다.$$$$(a,f(a))에서의\ 선형\ 근사식을\ 세우면$$$$L(x) = e^a(x-a)+e^a이다.\ 이때\ e^a의\ 값을\ 우리가\ 알고\ 있는\ 값으로\ 설정해야\ 선형\ 근사식을\ 완성할\ .. 공감수 0 댓글수 8 2024. 10. 11.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 로그함수와 역삼각함수의 도함수 로그함수는 지수함수의 역함수이다. 지수함수가 미분가능한 함수이므로 역함수인 로그함수 또한 미분가능한 함수임을 알 수 있다.로그함수의 도함수$$\frac{d}{dx}(log_bx) = \frac{1}{xlnb}$$ 증명$$y = log_bx\ 라면\ b^y = x\ 이다.$$$$x에\ 관하여\ 음함수의\ 미분법을 적용하면$$$$b^y×lnb×y' = 1\ 이고, y' = \frac{1}{b^ylnb} = \frac{1}{xlnb}\ 이다.$$ y 미분 과정> 지수함수의 도함수 부분 참고 CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1 - (1) 다항함수와 지수함수의 도함수3-1-(1) 다항함수와 지수함수의 도함수에서의 증명을 이해하기 위해서는 앞서 배운 도함수의 개념이 중요합니다.만약 도함수의 개.. 공감수 0 댓글수 1 2024. 10. 10.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 2 음함수 미분법 음함수 소개지금까지 다룬 함수들은 y=2x, y = x*sinx 처럼 y = f(x) 꼴로 정의되는 양함수였다.그러나 후술할 음함수들은 다음과 같은 형태들로 x와 y 사이의 관계가 정의된다.$$x^2 + y^2 = 25\ //\ x^3+xy^2=6xy$$ 음함수를 미분하려면 양함수 꼴로 바꾸어야 할까?$$x^2 + y^2 = 25는\ y = ±\sqrt{25 - x^2}처럼\ y에 관하여 풀기 쉽지만$$$$ x^3+xy^2=6xy는\ y에 관하여 풀기 어렵다.$$이제 음함수를 미분하는 방법에 대하여 알아보자. 음함수 미분음함수의 미분을 위해서 음함수를 양함수의 꼴로 바꿀 필요는 없다.음함수의 미분 순서는 다음과 같다.음함수를 x에 관하여 미분한다.y는 x의 함수임을 이용하여 연쇄법칙을 적용한다.미분한 식.. 공감수 0 댓글수 1 2024. 10. 10.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1-(2)곱 법칙과 몫 법칙, 삼각함수의 도함수, 연쇄법칙 해당파트는 중, 고등학생 때 많이 다루기에 각각의 법칙이 뭐였는지 리마인드 하고, 예제를 통해 개념을 확인하는 차원에서 작성되어 본 글에서는 증명에 관한 내용은 해당 부분 마지막에 외부링크로 달아두었습니다. 곱 법칙f와 g가 모두 미분가능하면$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x) = \frac{d}{dx}[f(x)]g(x) + f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]$$$$즉 [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 이다.$$ 증명 예제 1.$$y = x^2e^x일 때 y'을 구하여라$$ 풀이 1.f(x) = x^2 , g(x) = e^x로 본다면 f와 g모두 미분가능하다는 것을 알 수 있다.따라서 곱법칙을 사용한다면$$y'=2x*e^x + x^2*e^x$$ 몫 법칙f와 g가 .. 공감수 0 댓글수 2 2024. 10. 8.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1 - (1) 다항함수와 지수함수의 도함수 3-1-(1) 다항함수와 지수함수의 도함수에서의 증명을 이해하기 위해서는 앞서 배운 도함수의 개념이 중요합니다.만약 도함수의 개념을 정확히 모른다면 아래의 글을 읽고 오시는 것을 권합니다. CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델2. 극한과 도함수이전 1. 함수와 모델에서는 CALCULUS 핵심 미분적분학에 나오는 기본적인 함수의 종류에 관하여 알아보았습니다. CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델미분적분학에서 가장 근본적으로junhyub.tistory.com 다항함수의 도함수다항함수의 형태는 $$f(x) = anxn+ an-1xn-1 + ㆍㆍㆍ+ a0$$입니다. 이는 함수의 결합에 의해 anxn, an-1xn-1, ㆍㆍㆍ, a0 으로 나누어 생각할 수 .. 공감수 0 댓글수 0 2024. 9. 26.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델2. 극한과 도함수 이전 1. 함수와 모델에서는 CALCULUS 핵심 미분적분학에 나오는 기본적인 함수의 종류에 관하여 알아보았습니다. CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델미분적분학에서 가장 근본적으로 다루는 대상은 함수입니다. 1. 함수와 모델에서는 미분적분학에서 나올 많은 종류의 함수들을 한번 훑고 가겠습니다. 함수의 종류에 관하여 잘 알고 있으신junhyub.tistory.com 이번 시간에는 1장에서 배운 함수의 미적분에 대하여 알아보고, 함수의 극한과 그 성질에 대하여 알아보겠습니다. 접선함수의 극한에 관해 배우기 앞서 함수의 극한이 접선에 어떻게 이용되는지에 대하여 예제를 통해 설명하도록 하겠습니다. 접선을 구하기 위해서는 1. 직선의 기울기, 2. 직선이 지나는 점의 좌표를 알아야 합.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 9. 26.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델 미분적분학에서 가장 근본적으로 다루는 대상은 함수입니다. 1. 함수와 모델에서는 미분적분학에서 나올 많은 종류의 함수들을 한번 훑고 가겠습니다. 함수의 종류에 관하여 잘 알고 있으신 분들은 다음 강의로 바로 넘어가셔도 좋습니다. 우함수와 기함수f가 정의역에 있는 모든 x에 대하여 f(x) = f(-x)를 만족하면 우함수, f(x) = -f(-x)를 만족하면 기함수입니다.대표적인 우함수로는 X^2이 있고 (왼쪽) 대표적인 기함수로는 X^3이 있습니다. (오른쪽)우함수와 기함수 외우기가 어렵다면 우 자체가 좌우 대칭이니깐 우 -> 좌우대칭, 기 -> 원점대칭으로 암기해 주시면좋을 것 같습니다. 대수함수와 초월(transcend.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 9. 25.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 0. 개요 안녕하세요. CALCULUS 핵심 미적분학에 관한 글을 쓰게 된 식방이입니다. 학습 대상은 미적분학에 관심이 있는 중 - 고등학교 학생 및 대학생(특히 기하와 백터를 공부한 학생), 편입 준비생이 될 것 같습니다. 교재는 제임스 스튜어트의 핵심 미분적분학을 사용하여 글을 쓸 예정이지만,대부분의 핵심미분적분학책의 구성은 동일하여대학교에서 다른 교재를 사용하여 수업을 진행한다고 하여도 따라오는 데에는 큰 지장이 없으리라 생각합니다. 미분적분학 내용 특성상 수능 때처럼 어렵게 낼 수 없기에 대학생이면 학교에서 나가는 진도에 맞게 개념 탄탄히 잡고, 연습 문제를 같이 풀면서 가면 고학점(A0, A+) 받는 데에 무리가 없을 것 같습니다. 학습 목차 1. 함수와 모델 2. 극한과 도함수 3 - 1 다항함수와 .. 공감수 4 댓글수 1 2024. 9. 25.

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