Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
본문 바로가기
CALCULUS 핵심미분적분학

CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 5 쌍곡선함수

by 식방이 2024. 10. 11.

삼각함수는 원과 관련 있는 함수였다면

쌍곡선함수는 쌍곡선과 관련이 있는 함수이다.

: x2+y2=1  sin2x+cos2x=1

$$쌍곡선함수\ x^2-y^2=1\ →\  cosh^2x-sinh^2x= 1$$

 

이제 쌍곡선함수와 쌍곡선함수의 도함수, 역쌍곡선함수의 도함수에 관해 알아보자

 

  • 쌍곡선함수와 도함수

쌍곡선함수의 정의

sinhx=exex2 cschx=1sinhx
coshx=ex+ex2 sechx=1coshx
tanhx=sinhxcoshx cothx=coshxsinhx

 

쌍곡선함수의 항등식

sinh(x)=sinhx cosh(x)=coshx
cosh2xsinh2x=1 ltanh2x=sech2x
sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh(x+y)=coshxcohy+sinhxsinhy

 

쌍곡선함수들의 도함수

xdxsinhx=coshx xdxcschx=cschxcothx
xdxcoshx=sinhx xdxsechx=sechxtanhx
xdxtanhx=sech2x xdxcothx=csch2x

 

항등식과 도함수의 증명은 쌍곡선함수의 정의를 이용하여 계산한다면 구할 수 있다.

sinhx와 coshx의 식은 반드시 외우길 바란다.

 

  • 역쌍곡선함수의 도함수

쌍곡선함수는 지수함수에 의하여 정의되므로 역쌍곡선함수는 로그함수에 정의된다는 것을 유추할 수 있다.

sinh1x=ln(x+x2+1)
cosh1x=ln(x+x21)
tanh1x=12ln(1+x1x)

 

역쌍곡선함수의 도함수

ddx(sinh1x)=11+x2 ddx(csch1x)=1|x|x21
ddx(cosh1x)=1x21 ddx(sech1x)=1x1x2
ddx(tanh1x)=11x2 ddx(coth1x)=11x2

 

증명

ddxcosh1x=1x21 .

cosh1x=ln(x+x21)    ddxln(x+x21)=1+xx21x+x21

1+xx21x+x21   x21.

x21+x(x+x21)(x21)

1x21

ddxcosh1x=1x21 .