CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 5 쌍곡선함수

삼각함수는 원과 관련 있는 함수였다면

쌍곡선함수는 쌍곡선과 관련이 있는 함수이다.

$$삼각함수:\ x^2+y^2=1\ →\ sin^2x+cos^2x = 1$$

$$쌍곡선함수\ x^2-y^2=1\ →\  cosh^2x-sinh^2x= 1$$

 

이제 쌍곡선함수와 쌍곡선함수의 도함수, 역쌍곡선함수의 도함수에 관해 알아보자

 

• 쌍곡선함수와 도함수

쌍곡선함수의 정의

$$sinhx = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$$	$$cschx=\frac{1}{sinhx}$$
$$coshx= \frac{e^x+e^{-x}}{2}$$	$$sechx=\frac{1}{coshx}$$
$$tanhx = \frac{sinhx}{coshx}$$	$$cothx=\frac{coshx}{sinhx}$$

 

쌍곡선함수의 항등식

$$sinh(-x)=-sinhx$$	$$cosh(-x)=coshx$$
$$cosh^2x-sinh^2x = 1$$	$$l-tanh^2x=sech^2x$$
$$sinh(x+y) = sinhxcoshy+coshxsinhy$$	$$cosh(x+y)=coshxcohy+sinhxsinhy$$

 

쌍곡선함수들의 도함수

$$\frac{x}{dx}sinhx = coshx$$	$$\frac{x}{dx}cschx=-cschxcothx$$
$$\frac{x}{dx}coshx=sinhx$$	$$\frac{x}{dx}sechx=-sechxtanhx$$
$$\frac{x}{dx}tanhx=sech^2x$$	$$\frac{x}{dx}cothx=-csch^2x$$

 

항등식과 도함수의 증명은 쌍곡선함수의 정의를 이용하여 계산한다면 구할 수 있다.

sinhx와 coshx의 식은 반드시 외우길 바란다.

 

• 역쌍곡선함수의 도함수

쌍곡선함수는 지수함수에 의하여 정의되므로 역쌍곡선함수는 로그함수에 정의된다는 것을 유추할 수 있다.

$$sinh^{-1}x=ln(x+\sqrt{x^2+1})$$

$$cosh^{-1}x=ln(x+\sqrt{x^2-1})$$

$$tanh^{-1}x=\frac{1}{2}ln(\frac{1+x}{1-x})$$

 

역쌍곡선함수의 도함수

$$\frac{d}{dx}(sinh^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$	$$\frac{d}{dx}(csch^{-1}x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$
$$\frac{d}{dx}(cosh^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$	$$\frac{d}{dx}(sech^{-1}x)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}(tanh^{-1}x)=\frac{1}{1-x^2}$$	$$\frac{d}{dx}(coth^{-1}x)=\frac{1}{1-x^2}$$

 

증명

$$\frac{d}{dx}cosh^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}을\ 증명하겠다.$$

$$cosh^{-1}x = ln(x+\sqrt{x^2-1})\ \ \ \ \frac{d}{dx} ln(x+\sqrt{x^2-1}) = \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}} $$

$$ \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}의\ 분모\ 분자에\ \sqrt{x^2-1}를 곱해준다.$$

$$ \frac{\sqrt{x^2-1}+x}{ (x+\sqrt{x^2-1})*(\sqrt{x^2-1})}$$

$$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

$$ \frac{d}{dx}cosh^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}임이\ 증명되었다.$$