삼각함수는 원과 관련 있는 함수였다면
쌍곡선함수는 쌍곡선과 관련이 있는 함수이다.
삼각함수: x2+y2=1 → sin2x+cos2x=1
$$쌍곡선함수\ x^2-y^2=1\ →\ cosh^2x-sinh^2x= 1$$
이제 쌍곡선함수와 쌍곡선함수의 도함수, 역쌍곡선함수의 도함수에 관해 알아보자
- 쌍곡선함수와 도함수
쌍곡선함수의 정의
sinhx=ex−e−x2 | cschx=1sinhx |
coshx=ex+e−x2 | sechx=1coshx |
tanhx=sinhxcoshx | cothx=coshxsinhx |
쌍곡선함수의 항등식
sinh(−x)=−sinhx | cosh(−x)=coshx |
cosh2x−sinh2x=1 | l−tanh2x=sech2x |
sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy | cosh(x+y)=coshxcohy+sinhxsinhy |
쌍곡선함수들의 도함수
xdxsinhx=coshx | xdxcschx=−cschxcothx |
xdxcoshx=sinhx | xdxsechx=−sechxtanhx |
xdxtanhx=sech2x | xdxcothx=−csch2x |
항등식과 도함수의 증명은 쌍곡선함수의 정의를 이용하여 계산한다면 구할 수 있다.
sinhx와 coshx의 식은 반드시 외우길 바란다.
- 역쌍곡선함수의 도함수
쌍곡선함수는 지수함수에 의하여 정의되므로 역쌍곡선함수는 로그함수에 정의된다는 것을 유추할 수 있다.
sinh−1x=ln(x+√x2+1) |
cosh−1x=ln(x+√x2−1) |
tanh−1x=12ln(1+x1−x) |
역쌍곡선함수의 도함수
ddx(sinh−1x)=1√1+x2 | ddx(csch−1x)=−1|x|√x2−1 |
ddx(cosh−1x)=1√x2−1 | ddx(sech−1x)=−1x√1−x2 |
ddx(tanh−1x)=11−x2 | ddx(coth−1x)=11−x2 |
증명
ddxcosh−1x=1√x2−1을 증명하겠다.
cosh−1x=ln(x+√x2−1) ddxln(x+√x2−1)=1+x√x2−1x+√x2−1
1+x√x2−1x+√x2−1의 분모 분자에 √x2−1를곱해준다.
√x2−1+x(x+√x2−1)∗(√x2−1)
1√x2−1
ddxcosh−1x=1√x2−1임이 증명되었다.
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