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CALCULUS 핵심미분적분학

CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 로그함수와 역삼각함수의 도함수

by 식방이 2024. 10. 10.

로그함수는 지수함수의 역함수이다. 

지수함수가 미분가능한 함수이므로 역함수인 로그함수 또한 미분가능한 함수임을 알 수 있다.

  • 로그함수의 도함수
ddx(logbx)=1xlnb

 

증명

y=logbx  by=x .

x   

by×lnb×y=1 ,y=1bylnb=1xlnb .

 

<by 미분 과정> 지수함수의 도함수 부분 참고

 

CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1 - (1) 다항함수와 지수함수의 도함수

3-1-(1) 다항함수와 지수함수의 도함수에서의 증명을 이해하기 위해서는 앞서 배운 도함수의 개념이 중요합니다.만약 도함수의 개념을 정확히 모른다면 아래의 글을 읽고 오시는 것을 권합니다.

junhyub.tistory.com

 

이를 통해 자연로그함수 lnx의 미분 결과는

ddxlnx=1x    .

 

예제1.

y=ln(sinx) 

 

풀이1.

y = ln(sinx)를 f(x) = lnx, g(x) = sinx 로 이루어진 합성함수로 생각하자

 

합성함수 미분법에 의하여

f(x)=1x, g(x)=cosx 

[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=cosxsinx

 

  • 역삼각함수의 도함수

역삼각함수의 미분공식을 먼저 살펴보자.

ddxsin1x=11x2 ddxcsc1x=1xx21
ddxcos1x=11x2 ddxsec1x=1xx21
ddxtan1x=11+x2 ddxcot1x=11+x2

 

위 역삼각함수의 미분공식 중 arcsinx의 미분과 arctanx의 미분이 주로 나오는데 여기서는 arcsinx의 미분을 증명해보겠다.

 

증명

y=sin1x  siny=x.  pi2ypi2

  siny=x 

ycosy=1 .

cosy=1sin2y=1x2

 y=1cosy=11x2

 

예제2.

y=1sin1x 

 

풀이2.

몫의 미분법을 적용하면

y=(sin1x)(sin1x)2=11x21(sin1x)2

=1(sin1x)21x2