로그함수는 지수함수의 역함수이다.

지수함수가 미분가능한 함수이므로 역함수인 로그함수 또한 미분가능한 함수임을 알 수 있다.
- 로그함수의 도함수
ddx(logbx)=1xlnb |
증명
y=logbx 라면 by=x 이다.
x에 관하여 음함수의 미분법을적용하면
by×lnb×y′=1 이고,y′=1bylnb=1xlnb 이다.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1 - (1) 다항함수와 지수함수의 도함수
3-1-(1) 다항함수와 지수함수의 도함수에서의 증명을 이해하기 위해서는 앞서 배운 도함수의 개념이 중요합니다.만약 도함수의 개념을 정확히 모른다면 아래의 글을 읽고 오시는 것을 권합니다.
junhyub.tistory.com
이를 통해 자연로그함수 lnx의 미분 결과는
ddxlnx=1x 임을 알 수 있다.
예제1.
y=ln(sinx)를 미분하라
풀이1.
y = ln(sinx)를 f(x) = lnx, g(x) = sinx 로 이루어진 합성함수로 생각하자
합성함수 미분법에 의하여
f′(x)=1x, g′(x)=cosx 이므로
[f(g(x))]′=f′(g(x))∗g′(x)=cosxsinx
- 역삼각함수의 도함수
역삼각함수의 미분공식을 먼저 살펴보자.
ddxsin−1x=1√1−x2 | ddxcsc−1x=−1x√x2−1 |
ddxcos−1x=−1√1−x2 | ddxsec−1x=1x√x2−1 |
ddxtan−1x=11+x2 | ddxcot−1x=−11+x2 |
위 역삼각함수의 미분공식 중 arcsinx의 미분과 arctanx의 미분이 주로 나오는데 여기서는 arcsinx의 미분을 증명해보겠다.
증명
y=sin−1x 이면 siny=x이다. −pi2≤y≤pi2
음함수의 미분법으로 siny=x를 미분하면
y′cosy=1이 된다.
cosy=√1−sin2y=√1−x2
따라서 y′=1cosy=1√1−x2
예제2.
y=1sin−1x를 미분하라
풀이2.
몫의 미분법을 적용하면
y′=−(sin−1x)′(sin−1x)2=−1√1−x2∗1(sin−1x)2
=−1(sin−1x)2√1−x2
'CALCULUS 핵심미분적분학' 카테고리의 다른 글
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 5 쌍곡선함수 (1) | 2024.10.11 |
---|---|
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 4 선형 근사 (8) | 2024.10.11 |
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 2 음함수 미분법 (1) | 2024.10.10 |
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1-(2)곱 법칙과 몫 법칙, 삼각함수의 도함수, 연쇄법칙 (2) | 2024.10.08 |
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1 - (1) 다항함수와 지수함수의 도함수 (0) | 2024.09.26 |