CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 로그함수와 역삼각함수의 도함수

로그함수는 지수함수의 역함수이다. 

지수함수가 미분가능한 함수이므로 역함수인 로그함수 또한 미분가능한 함수임을 알 수 있다.

• 로그함수의 도함수

$$\frac{d}{dx}(log_bx) = \frac{1}{xlnb}$$

 

증명

$$y = log_bx\ 라면\ b^y = x\ 이다.$$

$$x에\ 관하여\ 음함수의\ 미분법을 적용하면$$

$$b^y×lnb×y' = 1\ 이고, y' = \frac{1}{b^ylnb} = \frac{1}{xlnb}\ 이다.$$

 

<b^y 미분 과정> 지수함수의 도함수 부분 참고

CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1 - (1) 다항함수와 지수함수의 도함수

 

이를 통해 자연로그함수 lnx의 미분 결과는

$$\frac{d}{dx}lnx = \frac{1}{x}\ 임을\ 알\ 수\ 있다.$$

 

예제1.

$$y = ln(sinx)를\ 미분하라$$

 

풀이1.

y = ln(sinx)를 f(x) = lnx, g(x) = sinx 로 이루어진 합성함수로 생각하자

 

합성함수 미분법에 의하여

$$f'(x) = \frac{1}{x},\ g'(x) = cosx\ 이므로$$

$$[f(g(x))]' = f'(g(x))*g'(x) = \frac{cosx}{sinx}$$

 

• 역삼각함수의 도함수

역삼각함수의 미분공식을 먼저 살펴보자.

$$\frac{d}{dx}sin^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$	$$\frac{d}{dx}csc^{-1}x = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$$
$$\frac{d}{dx}cos^{-1}x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$	$$\frac{d}{dx}sec^{-1}x = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$$
$$\frac{d}{dx}tan^{-1}x = \frac{1}{1+x^2}$$	$$\frac{d}{dx}cot^{-1}x = -\frac{1}{1+x^2}$$

 

위 역삼각함수의 미분공식 중 arcsinx의 미분과 arctanx의 미분이 주로 나오는데 여기서는 arcsinx의 미분을 증명해보겠다.

 

증명

$$y = sin^{-1}x\ 이면\ siny = x 이다.\ \ -\frac{pi}{2}≤ y≤ \frac{pi}{2}$$

$$음함수의\ 미분법으로\ siny=x를\ 미분하면$$

$$y'cosy = 1이\ 된다.$$

$$cosy =  \sqrt{1-sin^2y} = \sqrt{1-x^2}$$

$$따라서\ y' = \frac{1}{cosy} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

 

예제2.

$$y=\frac{1}{sin^{-1}x}를\ 미분하라$$

 

풀이2.

몫의 미분법을 적용하면

$$y' = -\frac{(sin^{-1}x)'}{(sin^{-1}x)^2} =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}* \frac{1}{(sin^{-1}x)^2} $$

$$= -\frac{1}{ (sin^{-1}x)^2 \sqrt{1-x^2}}$$