CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) |4 - 1 - (2)평균값 정리

• 롤의 정리

롤의 정리는 평균값 정리를 증명하기데 주로 사용되는 정리로 평균값 정리를 알아보기 전에 알아두고 갈 필요가 있다.

롤의 정리 함수 f가 다음 세 가지 조건을 만족하면 f'(c) =0을 만족시키는 c가 (a, b) 안에 존재한다. $$1.\ f는\ 폐구간\ [a,\ b]에서\ 연속이다.$$ $$2.\ f는\ 개구간\ (a,\ b)에서\ 미분가능하다.$$ $$3.\ f(a)=f(b)$$

 

롤의 정의의 증명에 관한 부분은 여러분이 직접 그래프를 그려보는 것이 더욱 효과적일 것이라 생각한다.

 

예제 1.

$$x^3+x+1=0이\ 단\ 한\ 개의\ 실근을\ 가짐을\ 보여라$$

 

풀이 1.

$$f(x) = x^3+x+1이라고\ 하자$$ $$우선\ 근이\ 존재함을\ 보이기\ 위해서는\ f(a)\ ＜\ 0인 점과\ f(b)\ ＞0인\ 점\ 두개를\ 찾는게\ 좋다.$$ $$f(-1)= -1 < 0\ ,f(0)=1 > 0이므로-1과\ 0사이에\ f(c)=0을\ 만족하는\ c가\ 있음을\ 알\ 수\ 있다.(중간값\ 정리)$$ $$이제\ c가\ 아닌\ 다른\ 실근\ d가\ 존재한다고\ 가정하자\ f(c)=0=f(d)이므로 롤의 정의에 의하여$$ $$f'(k)=0을\ 만족하는\  k∈(c,d)가\ 존재해야한다\ 하지만 f'(x) = 3x^2+1 ≥ 1이므로\ 모순이다.$$ $$따라서\ 방정식은\ 두\ 개의\ 실근을\ 갖지\ 않는다$$

 

• 평균값 정리

평균값 정리 함수 f가 다음 조건을 만족한다고 하자. $$1.\ f는\ 폐구간\ [a,\ b]에서\ 연속이다.$$ $$2.\ f는\ 개구간\ (a,\ b)에서\ 미분가능하다.$$ 그러면 다음을 만족하는 수 c가 (a, b)에 존재한다. $$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

 

평균값 정의의 증명에 관한 부분 또한 다음과 같이 여러분이 직접 그래프를 그려보는 것이 더욱 효과적일 것이라 생각한다.