CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1 - (1) 다항함수와 지수함수의 도함수

3-1-(1) 다항함수와 지수함수의 도함수에서의 증명을 이해하기 위해서는 앞서 배운 도함수의 개념이 중요합니다.

만약 도함수의 개념을 정확히 모른다면 아래의 글을 읽고 오시는 것을 권합니다.

 

CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델2. 극한과 도함수

 

• 다항함수의 도함수

다항함수의 형태는 

$$f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 + ㆍㆍㆍ+ a₀$$

입니다. 이는 함수의 결합에 의해 a_nxⁿ, a_n-1x^n-1, ㆍㆍㆍ, a₀ 으로 나누어 생각할 수 있습니다.

 

개별의 항들은 모두 거듭제곱의 형태이므로 이를 거듭제급 법칙을 사용하여 미분한다면

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

가 나옵니다.

 

증명

$$x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} +x^{n-2}a + ㆍㆍㆍ+xa^{n-2}+a^{n-1})$$

$$f'(a) = \lim_{ x \rightarrow a} \frac{f(x) -f(a)}{x -a} = \lim_{ x \rightarrow a}\frac{x^n - a^n}{x-a}$$

$$= \lim_{ x \rightarrow a} (x^{n-1} +x^{n-2}a + ㆍㆍㆍ+xa^{n-2}+a^{n-1})$$

$$= a^{n-1} +a^{n-2}a + ㆍㆍㆍ+aa^{n-2}+a^{n-1}$$

 

a대신에 x를 대입하게 되면 

$$f'(x) = nx^{n-1}$$

이 나오는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

예제1.

$$다음\ 함수의\ 도함수를\ 구하여라.\ (a) f(x) = \frac{1}{x}, (b) f(x) = x^4+x^3$$

 

풀이1.

$$(a) : \frac{1}{x} = x^{-1} ∴ -1*x^{-2}$$

$$(b) :  4x^3 + 3x^2$$

 

• 지수함수의 도함수와 자연상수e

• 지수함수의 도함수

$$f(x) = b^x는\ b^x = e^{(lnb)x}로\ 쓸\ 수\ 있다.$$

$$따라서\ \frac{d}{dx}(b^x) = \frac{d}{dx}e^{(lnb)x} = e^{(lnb)x}\frac{d}{dx}[(lnb)x]$$

$$e^{(lnb)x}( lnb) = b^xlnb$$

$$이를통해\ \frac{d}{dx}(b^x) = b^xlnb$$

라는 공식을 얻을 수 있다.

 

• e의 정의

도함수의 정의를 이용하여 지수함수

$$f(x) = b^x$$

의 도함수를 구해보면

$$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) -f(x)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{b^xb^h-b^x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{b^x(b^h-1)}{h}$$

$$따라서\ f'(x) = b^x\lim_{h \rightarrow 0}\frac{b^h - 1}{h}$$

$$f'(x) = f'(0)b^x$$

$$이때\ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{b^h - 1}{h} = 1\ 을\ 만족시키는\ b를\ 자연상수\ e라고\ 한다.$$

$$이에\ 의하여\ b가\ e일때\ f'(0) = 1\ 이므로$$

$$f'(x) = e^x\ 가\ 된다.$$

 

자연상수 e또한  공식에 b자리에 e를 대입하면 동일한 결과가 나온다.