해당파트는 중, 고등학생 때 많이 다루기에 각각의 법칙이 뭐였는지 리마인드 하고, 예제를 통해 개념을 확인하는 차원에서 작성되어 본 글에서는 증명에 관한 내용은 해당 부분 마지막에 외부링크로 달아두었습니다.
- 곱 법칙
f와 g가 모두 미분가능하면
$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x) = \frac{d}{dx}[f(x)]g(x) + f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]$$
$$즉 [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 이다.$$
증명
예제 1.
$$y = x^2e^x일 때 y'을 구하여라$$
풀이 1.
f(x) = x^2 , g(x) = e^x로 본다면 f와 g모두 미분가능하다는 것을 알 수 있다.
따라서 곱법칙을 사용한다면
$$y'=2x*e^x + x^2*e^x$$
- 몫 법칙
f와 g가 모두 미분가능하면
$$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{ \frac{d}{dx}f(x)[g(x)] - f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2}$$
$$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$
이다.
증명
예제 2.
$$f(x) = \frac{x}{e^x}일 때 f'(x)를 구하여라.$$
풀이 2.
몫의 미분법을 사용하여
$$\frac{1*e^x - x*e^x}{e^{2x}}$$
이다.
- 삼각함수의 도함수와 극한
$$\frac{d}{dx}sinx = cosx$$ | $$\frac{d}{dx}cscx = -cscxcotx$$ |
$$\frac{d}{dx}cosx = -sinx$$ | $$\frac{d}{dx}secx = secxtanx$$ |
$$\frac{d}{dx}tanx = sec^2x$$ | ㅇ$$\frac{d}{dx}cotx = -csc^2x$$ |
증명
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{x} = 1$$
문제를 풀다보면 위와 같은 식(sinx/x, tanx/x 등)을 접한 경험이 있을 것이다.
증명을 위해 중심각이 x, 반지름이 1인 부채꼴을 그리자
그림에서 알 수 있듯이
호 AB = 반지름 * 중심각 = 1 * x 이므로 x이고, 선분 AD = sinx이다.
그림으로부터 AD < AB < 호 AB 임을 알 수 있다.
$$따라서 sinx < x 이므로 \frac{sinx}{x} < 1이다.$$
호 AB = x < 선분 AE + 선분 BE < 선분 CE + 선분BE = tanx 이므로
$$ x < tanx = \frac{sinx}{cosx}$$
$$ cosx < \frac{sinx}{x}$$
두 부등식을 합치면
$$ cosx < \frac{sinx}{x} < 1 $$
조임 정리에 의하여
$$ \lim_{x \rightarrow 0} cosx ≤ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x} ≤ \lim_{x \rightarrow 0} 1$$
$$ 1 ≤ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x} ≤ 1$$
$$따라서 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x} = 1이다.$$
예제 3.
$$\lim_{x \rightarrow 0}xcotx 를 구하여라$$
풀이 3.
$$\lim_{x \rightarrow 0}xcotx = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{xcosx}{sinx}$$
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{cosx}{\frac{sinx}{x}} = \frac{cos0}{1} = 1$$
정답 : 1
- 연쇄법칙
g가 x에서 미분가능하고 f가 g(x)에서 미분가능하면 F = f ∘ g = f(g(x))는 x에서 미분가능하다.
$$F'(x) = f'(g(x))ㆍg'(x)$$
이다.
예제 4.
$$F(x) = sin(x^2)을 미분하라$$
풀이 4.
$$f(x) = sinx, g(x) = x^2$$으로 외부함수와 내부함수를 나눌 수 있다.
따라서 연쇄법칙에 의해
$$F'(x) = cos(x^2) * 2x$$
가 된다.
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