CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1-(2)곱 법칙과 몫 법칙, 삼각함수의 도함수, 연쇄법칙

해당파트는 중, 고등학생 때 많이 다루기에 각각의 법칙이 뭐였는지 리마인드 하고, 예제를 통해 개념을 확인하는 차원에서 작성되어 본 글에서는 증명에 관한 내용은 해당 부분 마지막에 외부링크로 달아두었습니다.

 

• 곱 법칙

f와 g가 모두 미분가능하면

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x) = \frac{d}{dx}[f(x)]g(x) + f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]$$

$$즉 [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 이다.$$

 

증명

 

예제 1.

$$y = x^2e^x일 때 y'을 구하여라$$

 

풀이 1.

f(x) = x^2 , g(x) = e^x로 본다면 f와 g모두 미분가능하다는 것을 알 수 있다.

따라서 곱법칙을 사용한다면

$$y'=2x*e^x + x^2*e^x$$

 

• 몫 법칙

f와 g가 모두 미분가능하면

$$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{ \frac{d}{dx}f(x)[g(x)] - f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2}$$

$$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

이다.

 

증명

 

예제 2.

$$f(x) = \frac{x}{e^x}일 때 f'(x)를 구하여라.$$

 

풀이 2.

몫의 미분법을 사용하여

$$\frac{1*e^x - x*e^x}{e^{2x}}$$

이다.

 

• 삼각함수의 도함수와 극한

$$\frac{d}{dx}sinx = cosx$$	$$\frac{d}{dx}cscx = -cscxcotx$$
$$\frac{d}{dx}cosx = -sinx$$	$$\frac{d}{dx}secx = secxtanx$$
$$\frac{d}{dx}tanx = sec^2x$$	ㅇ $$\frac{d}{dx}cotx = -csc^2x$$

 

 

증명

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{x} = 1$$

문제를 풀다보면 위와 같은 식(sinx/x, tanx/x 등)을 접한 경험이 있을 것이다.

 

증명을 위해 중심각이 x, 반지름이 1인 부채꼴을 그리자

그림에서 알 수 있듯이

호 AB = 반지름 * 중심각 = 1 * x 이므로 x이고, 선분 AD =  sinx이다.

 

그림으로부터 AD < AB < 호 AB  임을 알 수 있다.

$$따라서 sinx < x 이므로 \frac{sinx}{x} < 1이다.$$

호 AB = x < 선분 AE + 선분 BE < 선분 CE + 선분BE = tanx 이므로

$$x  < tanx = \frac{sinx}{cosx}$$

$$cosx < \frac{sinx}{x}$$

두 부등식을 합치면

$$cosx < \frac{sinx}{x} < 1$$

조임 정리에 의하여

$$\lim_{x \rightarrow 0} cosx ≤ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x} ≤ \lim_{x \rightarrow 0} 1$$

$$1 ≤ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x} ≤ 1$$

$$따라서 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x} = 1이다.$$

예제 3.

$$\lim_{x \rightarrow 0}xcotx 를 구하여라$$

 

풀이 3.

$$\lim_{x \rightarrow 0}xcotx = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{xcosx}{sinx}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{cosx}{\frac{sinx}{x}} = \frac{cos0}{1} = 1$$

 

정답 : 1

 

• 연쇄법칙

g가 x에서 미분가능하고 f가 g(x)에서 미분가능하면 F = f ∘ g = f(g(x))는 x에서 미분가능하다.

$$F'(x) = f'(g(x))ㆍg'(x)$$

이다.

 

예제 4.

$$F(x) = sin(x^2)을 미분하라$$

 

풀이 4.

$$f(x) = sinx, g(x) = x^2$$ 으로 외부함수와 내부함수를 나눌 수 있다.

따라서 연쇄법칙에 의해

$$F'(x) = cos(x^2) * 2x$$

가 된다.