- 음함수 소개
지금까지 다룬 함수들은 y=2x, y = x*sinx 처럼 y = f(x) 꼴로 정의되는 양함수였다.
그러나 후술할 음함수들은 다음과 같은 형태들로 x와 y 사이의 관계가 정의된다.
x2+y2=25 // x3+xy2=6xy
음함수를 미분하려면 양함수 꼴로 바꾸어야 할까?
x2+y2=25는 y=±√25−x2처럼 y에관하여풀기쉽지만
x3+xy2=6xy는 y에관하여풀기어렵다.
이제 음함수를 미분하는 방법에 대하여 알아보자.
- 음함수 미분
음함수의 미분을 위해서 음함수를 양함수의 꼴로 바꿀 필요는 없다.
음함수의 미분 순서는 다음과 같다.
- 음함수를 x에 관하여 미분한다.
- y는 x의 함수임을 이용하여 연쇄법칙을 적용한다.
- 미분한 식을 dy/dx 즉 y'에 관하여 정리한다.
이 순서를 바탕으로 반지름이 5인 원의 방정식의 음함수를 미분해 보겠다.
방정식x2+y2=25의양변을 x에 관하여 미분하면
1. ddx(x2+y2)=ddx(25)2x+ddx(y2)=0
2. ddx(y2)=ddy(y2)dydx=2ydydx
3.dydx=−xy
순서에 맞춰 미분하면 쉽게 구할 수 있다.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1-(2)곱 법칙과 몫 법칙, 삼각함수의 도함수, 연쇄법칙
해당파트는 중, 고등학생 때 많이 다루기에 각각의 법칙이 뭐였는지 리마인드 하고, 예제를 통해 개념을 확인하는 차원에서 작성되어 본 글에서는 증명에 관한 내용은 해당 부분 마지막에 외부
junhyub.tistory.com
- 음함수의 이계도 함수
음함수의 이계도 함수를 구하기 위해서는 앞서 했던 순서에 맞춰 음함수의 도함수를 구해준다음 y'을 미분해주면 된다.
순서를 정리하면 다음과 같다.
- 음함수를 x에 관하여 미분한다.
- y는 x의 함수임을 이용하여 연쇄법칙을 적용한다.
- 미분한 식을 dy/dx 즉 y'에 관하여 정리한다.
- y'을 한번더 미분해준다.
이 순서를 바탕으로 반지름이 5인 원의 방정식의 음함수의 이계도 함수를 구해보겠다.
방정식x2+y2=25의양변을 x에 관하여 미분하면
1. ddx(x2+y2)=ddx(25)2x+ddx(y2)=0
2. ddx(y2)=ddy(y2)dydx=2ydydx
3. dydx=−xy
4. d2ydx2=−yddxx−xddxyy2=−y−xddyydydxy2
d2ydx2=−y−xy′y2
3.에서 구한 y'에 관한식을 대입하면
d2ydx2=−y2+x2y3
이다.
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