CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 2 음함수 미분법

• 음함수 소개

지금까지 다룬 함수들은 y=2x, y = x*sinx 처럼 y = f(x) 꼴로 정의되는 양함수였다.

그러나 후술할 음함수들은 다음과 같은 형태들로 x와 y 사이의 관계가 정의된다.

$$x^2 + y^2 = 25\ //\ x^3+xy^2=6xy$$

 

음함수를 미분하려면 양함수 꼴로 바꾸어야 할까?

$$x^2 + y^2 = 25는\ y = ±\sqrt{25 - x^2}처럼\ y에 관하여 풀기 쉽지만$$

$$ x^3+xy^2=6xy는\ y에 관하여 풀기 어렵다.$$

이제 음함수를 미분하는 방법에 대하여 알아보자.

 

• 음함수 미분

음함수의 미분을 위해서 음함수를 양함수의 꼴로 바꿀 필요는 없다.

음함수의 미분 순서는 다음과 같다.

1. 음함수를 x에 관하여 미분한다.
2. y는 x의 함수임을 이용하여 연쇄법칙을 적용한다.
3. 미분한 식을 dy/dx 즉 y'에  관하여 정리한다.

이 순서를 바탕으로 반지름이 5인 원의 방정식의 음함수를 미분해 보겠다.

$$방정식 x^2+y^2=25의 양변을\ x에\ 관하여\ 미분하면$$

$$1.\ \frac{d}{dx}(x^2+y^2) = \frac{d}{dx}(25)\\2x+\frac{d}{dx}(y^2) = 0$$

$$2.\ \ \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dy}(y^2) \frac{dy}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$$

$$3. \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

순서에 맞춰 미분하면 쉽게 구할 수 있다.

 

연쇄법칙이란?

CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1-(2)곱 법칙과 몫 법칙, 삼각함수의 도함수, 연쇄법칙

 

• 음함수의 이계도 함수

음함수의 이계도 함수를 구하기 위해서는 앞서 했던 순서에 맞춰 음함수의 도함수를 구해준다음 y'을 미분해주면 된다.

순서를 정리하면 다음과 같다.

1. 음함수를 x에 관하여 미분한다.
2. y는 x의 함수임을 이용하여 연쇄법칙을 적용한다.
3. 미분한 식을 dy/dx 즉 y'에  관하여 정리한다.
4. y'을 한번더 미분해준다.

이 순서를 바탕으로 반지름이 5인 원의 방정식의 음함수의 이계도 함수를 구해보겠다.

$$방정식 x^2+y^2=25의 양변을\ x에\ 관하여\ 미분하면$$

$$1.\ \frac{d}{dx}(x^2+y^2) = \frac{d}{dx}(25)\\2x+\frac{d}{dx}(y^2) = 0$$

$$2.\ \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dy}(y^2) \frac{dy}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$$

$$3.\ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

$$4.\ \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y\frac{d}{dx}x - x \frac{d}{dx}y}{y^2} = - \frac{y- x\frac{d}{dy}y \frac{dy}{dx}}{y^2}$$

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y- xy'}{y^2}$$

 

3.에서 구한 y'에 관한식을 대입하면

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$$

이다.