CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델2. 극한과 도함수

이전 1. 함수와 모델에서는 CALCULUS 핵심 미분적분학에 나오는 기본적인 함수의 종류에 관하여 알아보았습니다.

CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델

 

이번 시간에는 1장에서 배운 함수의 미적분에 대하여 알아보고, 함수의 극한과 그 성질에 대하여 알아보겠습니다.

 

• 접선

함수의 극한에 관해 배우기 앞서 함수의 극한이 접선에 어떻게 이용되는지에 대하여 예제를 통해 설명하도록 하겠습니다.

 

접선을 구하기 위해서는 1. 직선의 기울기, 2. 직선이 지나는 점의 좌표를 알아야 합니다.

 

예제 1. 점 P(1, 1)에서 포물선 y = x^2의 접선의 방정식을 구하여라.

 

풀이. 

우선 접선의 방정식을 구하기 위해서는 1. 직선의 기울기, 2. 직선이 지나는 점의 좌표를 알아내야 한다.

2번에 해당하는 직선이 지나는 좌표가 (1, 1)인 것을 알기에 직선의 기울기만 구하면 된다.

 

y = x^2 위의 한점 Q(q, q^2)를 잡으면 (단, q ≠ 1)

 

할선 m(교점과 Q를 이은 직선)의 기울기는 m =$$\frac {q^2-1}{q-1}$$ 이 된다.

여기서 q가 1에 한 없이 가까워져 할선이 접선이 되면 이를 극한이라고 하고 식으로는

$$\lim_{q \rightarrow 1}\frac{q^2-1}{q-1} = 2$$

이라고 나타낼 수 있다.

 

이를 통해 접선의 기울기가 2임을 구했으므로 (1, 1)에서의 접선의 방정식은 y= 2x -1 임을 알 수 있다.

(물론 직선의 기울기를 미분을 통해 간단히 구할 수 있습니다. )

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• 극한

극한은 x가 a의 어느쪽이든(좌극한, 우극한 모두) a에 가까워질수록 f(x)의 값이 L에 근접할 때

$$\lim_{x \rightarrow a}f(x) = L$$

로 나타내고, "x가 a에 접근할 때 f(x)의 극한은 L이다"라고 합니다.

 

정의에서도 알 수 있듯이 좌극한과 우극한이 같지 않으면 극한은 존재하지 않습니다.

이 외에도 극한이 존재하지 않는 경우가 있는데, $$\lim_{x \rightarrow a}f(x)$$의 값이 ∞ 혹은 - ∞라면 극한은 존재하지 않습니다.

 

예제2. 극한이 존재하는지, 존재하지 않는지 구하고 존재한다면 그 값을 구하라

(1)  $$\lim_{x \rightarrow 1} \frac {x^2-1}{x-1} $$

(2) $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} $$

 

풀이.

(1) 예제1에서 봤듯이. $$ \frac {x^2-1}{x-1}$$의 약분을 먼저 하여 $$\lim_{x \rightarrow 1}(x +1)$$로 만들고, x에 1을 대입하여 정답은 2라는 것을 확인할 수 있다. // 답 : 2

(2) 극한이 존재하는지 판별하는 가장 쉬운 방법은 그래프를 그리는 것이다. 그려보면

위와 같은 그래프가 나오고,  x의 값이 0으로 가까이 갈때 f(x)의 값은 ∞로 발산하는 것을 알 수 있다.

// 답 : 극한이 존재하지 않는다.

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• 극한의 성질

$$\lim_{x \rightarrow a}[f(x) + g(x)]  = \lim_{x \rightarrow a} f(x) + \lim_{x \rightarrow a} g(x)$$

$$\lim_{x \rightarrow a}[f(x) - g(x)]  = \lim_{x \rightarrow a} f(x) - \lim_{x \rightarrow a} g(x)$$

$$\lim_{x \rightarrow a}[cf(x)] = c\lim_{x \rightarrow a} f(x)$$

$$\lim_{x \rightarrow a}[f(x) g(x)] = \lim_{x \rightarrow a} f(x) * \lim_{x \rightarrow a} g(x)$$

$$\lim_{x \rightarrow a}\frac {f(x)}{g(x)} = \frac {lim_{x \rightarrow a} f(x) }{ lim_{x \rightarrow a} g(x) }$$

$$\lim_{x \rightarrow a}[f(x)^n]  = [\lim_{x \rightarrow a} f(x)]^n$$

$$\lim_{x \rightarrow a} c = c$$

$$\lim_{x \rightarrow a} x = a$$

 

눈으로만 보아도 극한의 성질은 매우 단순합니다. 따라서 예제 문제없이 다음으로 넘어가겠습니다.

 

• 미분계수

앞선 접선을 구할 때의 과정을 일반화하여 기울기를 구하는 정의를 세워보겠습니다.

 

접선의 기울기 m을 구하기 위해서

x ≠ a인 인접한 점 A(x, f(x))를 상정합니다. 이때의 할선의 기울기는 앞선 구한 것과 동일하게

$$m=\frac{f(x) - f(a)}{x-a}$$

로 구할 수 있습니다. 

접선의 기울기는 점A가 점 B로 극한으로 가까이 갔을 때 나오므로

$$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x) - f(a)}{x-a}$$

가 됩니다. 이 때 x = a+h로 바꾸어 준다면 x -> a로 갈 때 h -> 0으로 가야합니다.

$$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+ h) - f(a)}{a+h-a} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+ h) - f(a)}{h}$$

만약

$$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+ h) - f(a)}{h}$$

의 값이 존재한다면 이를 a에서 함수 f의 미분계수라하고 $$f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+ h) - f(a)}{h} $$로 나타냅니다.

 

예제3.

$$점(1,2)에서 포물선  y=x^2-5x+5의 접선의 방정식을 구하여라$$

 

풀이

$$f(x) = x^2-5x+5의 1에서의 미분계수는 \|lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}를 통해 구할 수 있다.$$

$$f(1+h) = (1+h)^2 -5(1+h) + 5 = h^2-3h +1, f(1) = 1 이므로$$

$$\|lim_{h \rightarrow 0}\frac{h^2-3h+1 -1}{h} = \|lim_{h \rightarrow 0}\({h-3}) =-3$$

따라서 기울기는 -3, 지나는 점은 1,2이므로 접선의 방정식은 y = 3x - 5임을 알 수 있다.

//답 : y = 3x -5

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• 도함수

도함수는 앞서 배운 내용에서 a를 x로 바꿔주는 작업만 해주면 됩니다.

$$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+ h) - f(a)}{h} => \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x)$$

 

예제4.

$$f(x) = x^2-1일 때 f'(x)를 구하여라$$

 

풀이

$$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[(x+h)^2-1] - [x^2 -1]}{h} = \|lim_{h \rightarrow 0}\frac{2hx+h^2}{h} = 2x$$

//답 : 2x