3-1-(1) 다항함수와 지수함수의 도함수에서의 증명을 이해하기 위해서는 앞서 배운 도함수의 개념이 중요합니다.
만약 도함수의 개념을 정확히 모른다면 아래의 글을 읽고 오시는 것을 권합니다.
CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델2. 극한과 도함수
이전 1. 함수와 모델에서는 CALCULUS 핵심 미분적분학에 나오는 기본적인 함수의 종류에 관하여 알아보았습니다. CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델미분적분학에서 가장 근본적으로
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- 다항함수의 도함수
다항함수의 형태는
$$f(x) = anxn+ an-1xn-1 + ㆍㆍㆍ+ a0$$
입니다. 이는 함수의 결합에 의해 anxn, an-1xn-1, ㆍㆍㆍ, a0 으로 나누어 생각할 수 있습니다.
개별의 항들은 모두 거듭제곱의 형태이므로 이를 거듭제급 법칙을 사용하여 미분한다면
ddx(xn)=nxn−1
가 나옵니다.
증명
xn−an=(x−a)(xn−1+xn−2a+ㆍㆍㆍ+xan−2+an−1)
f′(a)=limx→af(x)−f(a)x−a=limx→axn−anx−a
=limx→a(xn−1+xn−2a+ㆍㆍㆍ+xan−2+an−1)
=an−1+an−2a+ㆍㆍㆍ+aan−2+an−1
a대신에 x를 대입하게 되면
f′(x)=nxn−1
이 나오는 것을 확인 할 수 있습니다.
예제1.
다음 함수의 도함수를 구하여라. (a)f(x)=1x,(b)f(x)=x4+x3
풀이1.
(a):1x=x−1∴−1∗x−2
(b):4x3+3x2
- 지수함수의 도함수와 자연상수e
- 지수함수의 도함수
f(x)=bx는 bx=e(lnb)x로 쓸 수 있다.
따라서 ddx(bx)=ddxe(lnb)x=e(lnb)xddx[(lnb)x]
e(lnb)x(lnb)=bxlnb
이를통해 ddx(bx)=bxlnb
라는 공식을 얻을 수 있다.
- e의 정의
도함수의 정의를 이용하여 지수함수
f(x)=bx
의 도함수를 구해보면
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0bx+h−bxh
=limh→0bxbh−bxh=limh→0bx(bh−1)h
따라서 f′(x)=bxlimh→0bh−1h
f′(x)=f′(0)bx
이때 limh→0bh−1h=1 을 만족시키는 b를 자연상수 e라고 한다.
이에 의하여 b가 e일때 f′(0)=1 이므로
f′(x)=ex 가 된다.
자연상수 e또한 공식에 b자리에 e를 대입하면 동일한 결과가 나온다.
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