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CALCULUS 핵심미분적분학

CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 3 - 1 - (1) 다항함수와 지수함수의 도함수

by 식방이 2024. 9. 26.

3-1-(1) 다항함수와 지수함수의 도함수에서의 증명을 이해하기 위해서는 앞서 배운 도함수의 개념이 중요합니다.

만약 도함수의 개념을 정확히 모른다면 아래의 글을 읽고 오시는 것을 권합니다.

 

 

CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델2. 극한과 도함수

이전 1. 함수와 모델에서는 CALCULUS 핵심 미분적분학에 나오는 기본적인 함수의 종류에 관하여 알아보았습니다. CALCULUS 핵심 미적분학 (제 9판) | 1. 함수와 모델미분적분학에서 가장 근본적으로

junhyub.tistory.com

 

  • 다항함수의 도함수

다항함수의 형태는 

$$f(x) = anxn+ an-1xn-1 + ㆍㆍㆍ+ a0$$

입니다. 이는 함수의 결합에 의해 anxn, an-1xn-1, ㆍㆍㆍ, a0 으로 나누어 생각할 수 있습니다.

 

개별의 항들은 모두 거듭제곱의 형태이므로 이를 거듭제급 법칙을 사용하여 미분한다면

ddx(xn)=nxn1

가 나옵니다.

 

증명

xnan=(xa)(xn1+xn2a++xan2+an1)

f(a)=limxaf(x)f(a)xa=limxaxnanxa

=limxa(xn1+xn2a++xan2+an1)

=an1+an2a++aan2+an1

 

a대신에 x를 대입하게 되면 

f(x)=nxn1

이 나오는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

예제1.

   . (a)f(x)=1x,(b)f(x)=x4+x3

 

풀이1.

(a):1x=x11x2

(b):4x3+3x2

 

  • 지수함수의 도함수와 자연상수e
  • 지수함수의 도함수

f(x)=bx bx=e(lnb)x   .

 ddx(bx)=ddxe(lnb)x=e(lnb)xddx[(lnb)x]

e(lnb)x(lnb)=bxlnb

 ddx(bx)=bxlnb

라는 공식을 얻을 수 있다.

 

  • e의 정의

도함수의 정의를 이용하여 지수함수

f(x)=bx

의 도함수를 구해보면

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0bx+hbxh

=limh0bxbhbxh=limh0bx(bh1)h

 f(x)=bxlimh0bh1h

f(x)=f(0)bx

 limh0bh1h=1   b  e .

  b e f(0)=1 

f(x)=ex  .

 

자연상수 e또한  공식에 b자리에 e를 대입하면 동일한 결과가 나온다.